[👊DP뿌시기 #12] (BOJ 11660) 구간 합 구하기 5

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11660번: 구간 합 구하기 5

문제

N×N개의 수가 N×N 크기의 표에 채워져 있다. (x1, y1)부터 (x2, y2)까지 합을 구하는 프로그램을 작성하시오. (x, y)는 x행 y열을 의미한다.

예를 들어, N = 4이고, 표가 아래와 같이 채워져 있는 경우를 살펴보자.

1	2	3	4
2	3	4	5
3	4	5	6
4	5	6	7

여기서 (2, 2)부터 (3, 4)까지 합을 구하면 3+4+5+4+5+6 = 27이고, (4, 4)부터 (4, 4)까지 합을 구하면 7이다.

표에 채워져 있는 수와 합을 구하는 연산이 주어졌을 때, 이를 처리하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 표의 크기 N과 합을 구해야 하는 횟수 M이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1024, 1 ≤ M ≤ 100,000) 둘째 줄부터 N개의 줄에는 표에 채워져 있는 수가 1행부터 차례대로 주어진다. 다음 M개의 줄에는 네 개의 정수 x1, y1, x2, y2 가 주어지며, (x1, y1)부터 (x2, y2)의 합을 구해 출력해야 한다. 표에 채워져 있는 수는 1,000보다 작거나 같은 자연수이다. (x1 ≤ x2, y1 ≤ y2)

출력

총 M줄에 걸쳐 (x1, y1)부터 (x2, y2)까지 합을 구해 출력한다.

---

접근법

구간합을 구하는 것이기 때문에 이를 저장하면된다.

두 점 사이의 합들을 기록하는 것이기 때문에 특정 점까지의 합들의 사칙연산으로 풀면 좋을것 같다고 생각했다.

 

DP[x][y] = (1,1) 부터 (x,y) 까지의 합

이렇게 가정을 했다.

 

1단계) DP[x][y] 구하기

우선 x = 1, y = 1를 기본값으로 설정한다.

 

다음으로 x또는 y가 1인 애들은 자신보다 위쪽 혹은 왼쪽 애들에 자신을 더하면 된다.

무슨 말이냐면

x=1, y=2인 경우는 DP[1][1] + arr[1][2]이다.

마찬가지로 x=2, y=1인 경우 DP[1][1] + arr[2][1]이다.

 

이외의 경우는 DP[2][3]을 예시로 보자.  

DP(2,3)의 경우 초록색부분 만큼 더한 값에 파란 값을 빼고, 자기자신을 더하면 된다.

 

따라서, 위 경우를 하나로 정리하면 다음과 같다.

 

 

이제 DP Table을 정리했으니, 두 점 사이의 합을 보자.

 

(2, 2) (3, 4)까지의 구간의 합은 어떻게 구할까?

마찬가지로 그림을 그리면

DP[3][4]에서 초록색 부분을 빼고, 중복되는 파란색부분을 더하면 된다.

따라서, 아래와 같이 구할 수 있고, 점화식을 도출할 수 있다.

 

코드

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <string>
#define MAX 1025

using namespace std;


int dp[MAX][MAX];
int arr[MAX][MAX];

int main() {
	ios_base::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	int n, m;
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			cin >> arr[i][j];
		}
	}

	dp[1][1] = arr[1][1];

	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			if (i == 1)
				dp[i][j] = dp[i][j - 1] + arr[i][j];
			else if (j == 1)
				dp[i][j] = dp[i - 1][j] + arr[i][j];
			else if (i == 1 && j == 1)
				continue;
			else 
				dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j] - dp[i - 1][j - 1] + arr[i][j];
			
		}
	}

	while (m--) {
		int x1, x2, y1, y2;
		cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
		cout << dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1]
			+ dp[x1 - 1][y1 - 1] << "\n";
	}
}